Les nombres parfaits et nombres amiables constituent des curiosités arithmétiques que les pythagoriciens découvrirent et auxquelles ils attribuèrent une signification spirituelle profonde. Ces propriétés numériques révèlent l'harmonie cachée dans la structure même des nombres.
Les nombres parfaits
Un nombre est dit parfait quand il égale la somme de ses diviseurs propres (diviseurs inférieurs à lui-même). Le premier nombre parfait est 6 : ses diviseurs sont 1, 2, 3, et 1+2+3 = 6. Cette perfection mathématique en fit le nombre de la Création : Dieu créa le monde en six jours.
Le deuxième nombre parfait est 28 : 1+2+4+7+14 = 28. Les pythagoriciens notèrent que 28 est aussi le nombre de jours du cycle lunaire, renforçant leur conviction que les nombres parfaits structurent le cosmos. Ce n'est pas coïncidence mais Providence.
Les nombres parfaits suivants sont 496 et 8128. Euclide démontrera dans les Éléments que si 2^n - 1 est premier, alors 2^(n-1) × (2^n - 1) est parfait. Cette formule relie les nombres parfaits aux nombres premiers de Mersenne, révélant une harmonie profonde dans l'arithmétique.
Tous les nombres parfaits connus sont pairs. L'existence de nombres parfaits impairs reste une question ouverte après plus de deux millénaires. Cette asymétrie mystérieuse suggère que nous ne connaissons pas encore toutes les harmonies numériques voulues par Dieu.
Les nombres amiables
Deux nombres sont dits amiables (ou amicaux) quand chacun égale la somme des diviseurs propres de l'autre. Le premier couple connu est (220, 284) :
- Diviseurs de 220 : 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 ; somme = 284
- Diviseurs de 284 : 1, 2, 4, 71, 142 ; somme = 220
Cette réciprocité parfaite symbolisait pour les pythagoriciens l'amitié véritable où chacun se donne entièrement à l'autre. Les nombres amiables manifestent dans l'arithmétique pure l'idéal de la philia, l'amitié philosophique.
La tradition attribue la découverte de ce couple à Pythagore lui-même. Pendant des siècles, ce fut le seul couple connu. Thabit ibn Qurra (IXe siècle) découvrira une formule permettant d'en trouver d'autres. Fermat et Descartes en découvriront de nouveaux au XVIIe siècle.
Signification spirituelle
Pour les pythagoriciens, ces propriétés arithmétiques n'étaient pas de simples curiosités mais des révélations de l'ordre divin. Les nombres ne sont pas des conventions humaines mais des réalités éternelles possédant leurs propriétés intrinsèques.
La perfection du nombre 6 préfigure la perfection de l'œuvre créatrice divine. Le fait que si peu de nombres soient parfaits illustre la rareté de la perfection dans le monde créé. La Monade seule est absolument parfaite ; les créatures participent imparfaitement à cette perfection.
Les nombres amiables manifestent la possibilité d'une harmonie relationnelle, où deux êtres distincts s'unissent parfaitement tout en conservant leur identité propre. Analogie de la charité chrétienne où chacun se donne totalement à l'autre.
Développements ultérieurs
Saint Augustin méditera longuement la perfection du nombre 6 dans la Cité de Dieu. Il note que Dieu aurait pu créer instantanément, mais choisit six jours pour manifester la perfection de son œuvre dans un nombre parfait.
Nicomaque de Gérase systématisera la théorie pythagoricienne des nombres dans son Introduction arithmétique, classant les nombres selon leurs propriétés (déficients, parfaits, abondants ; premiers, composés ; figurés, etc.).
Boèce transmettra cette arithmétique spéculative au Moyen Âge chrétien. Les nombres parfaits et amiables orneront les manuscrits médiévaux comme témoignages de la sagesse divine inscrite dans la création.
Les nombres déficients et abondants
Par contraste avec les nombres parfaits, les nombres déficients ont une somme de diviseurs inférieure au nombre (comme 8 : 1+2+4 = 7 < 8), et les nombres abondants ont une somme supérieure (comme 12 : 1+2+3+4+6 = 16 > 12).
Cette classification révèle que la perfection numérique est rare. La plupart des nombres sont déficients ou abondants, manifestant l'imperfection générale du créé. Seuls quelques nombres atteignent l'équilibre parfait.
Les nombres abondants semblent "trop généreux", donnant plus qu'ils ne sont. Les nombres déficients semblent "avares", donnant moins. Les nombres parfaits seuls atteignent la juste mesure, l'équilibre exact. Analogie morale de la vertu comme juste milieu entre excès et défaut.
Résonance avec d'autres doctrines
Ces propriétés arithmétiques s'harmonisent avec d'autres aspects de la philosophie pythagoricienne. Les nombres parfaits manifestent l'harmonia mundi, l'accord universel, dans le domaine discret de l'arithmétique.
La Décade (10 = 1+2+3+4) n'est pas parfaite au sens technique mais possède d'autres perfections : elle contient tous les rapports harmoniques de la Tétractys. Différents types de perfection pour différents ordres de réalité.
Les nombres parfaits, bien que rares, existent infiniment selon Euclide (si les nombres premiers de Mersenne sont infinis). Cette infinité potentielle de perfections participées reflète l'infinité actuelle de la Perfection divine. L'arithmétique devient théologie.
Liens connexes : Décade | Monade | Tétractys | Harmonia Mundi